Форум движения за возрождение отечественной науки
13 Декабря 2017, 04:33:25 *
Добро пожаловать, Гость. Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь.

Войти
Новости: Форум движения за возрождение отечественной науки
 
   Начало   Помощь Поиск Войти Регистрация  
Страниц: [1]   Вниз
  Печать  
Автор Тема: Ещё раз о Кеплеровой задаче  (Прочитано 179 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.
Анатолий Михайлович Петров
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +67/-47
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 1079

Петров А.М.


« : 17 Ноября 2017, 15:39:41 »

Глубокоуважаемый Анри Амвросьевич Рухадзе, семинар которого я посещаю в качестве постоянного участника, порадовал меня сообщением, что моя статья, доложенная на семинаре, опубликована. В подтверждение привожу указатель статей в соответствующем номере журнала.
Ниже даю краткий итоговый комментарий к состоявшейся ранее на нашем Форуме дискуссии о том, существует ли аналитическое решение Кеплеровой задачи.  

Указатель статей, опубликованных в журнале "Прикладная физика и математика" в №10 2017 года.
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
М.Б. ЧЕЛНОКОВ   ИНВЕРСИЯ ВРЕМЕНИ И КАРТИНА ВСЕЛЕННОЙ

И.А. БОРИЕВ   ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В АТМОСФЕРЕ В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ МОЩНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАЗРЯДОВ ЛИНЕЙНЫХ МОЛНИЙ: ОБОСНОВАНИЕ ПОЗИТРОННОЙ ПРИРОДЫ ШАРОВОЙ МОЛНИИ

А.Г. ПАРХОМОВ, С.Н. ЗАБАВИН, Т.Р. ТИМЕРБУЛАТОВ, К.А. АЛАБИН, С.Н. АНДРЕЕВ, А.Г. СОБОЛЕВ   ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НИКЕЛЬ-ВОДОРОДНЫХ РЕАКЦИЙ С АНОМАЛЬНО ВЫСОКИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

П.А. НЕКЛЮДОВА, Е.А. КРАЛЬКИНА, К.В. ВАВИЛИН, И.И. ЗАДИРИЕВ, А.М. НИКОНОВ   ОСОБЕННОСТИ ГИБРИДНОГО ВЫСОКОЧАСТОТНОГО РАЗРЯДА НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ

А.А. РУХАДЗЕ, О.А. ОМАРОВ, Н.О. ОМАРОВА, П.Х. ОМАРОВА   ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОБОЯ ГАЗОВ ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ В СИЛЬНЫХ ПРОДОЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
А.М. ПЕТРОВ   О КЕПЛЕРОВОЙ ЗАДАЧЕ И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ

В.В. НАКЛАДНОВ   РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА В МЕРЗЛОМ И ТАЛОМ ГРУНТЕ

НАУКИ О ЗЕМЛЕ
С.Н. АРТЕХА, А.В. БЕЛЯН   О ВОЗМОЖНЫХ ПРОЯВЛЕНИЯХ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СВЯЗИ В ГРОЗОВЫХ ОБЛАКАХ

А.И. ЛАПТУХОВ, В.А. ЛАПТУХОВ   ПРОГНОЗ ВЕКОВЫХ ИЗМЕНЕНИЙ aa ИНДЕКСА ГЕОМАГНИТНОЙ АКТИВНОСТИ НА СТО ЛЕТ

Аннотация к статье
А.М. ПЕТРОВ
О КЕПЛЕРОВОЙ ЗАДАЧЕ И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ.
Анализ классической Кеплеровой задачи и её приложений показывает преимущества применения в динамических задачах на вращения математического аппарата алгебр с векторным делением в качестве альтернативы векторно-тензорной алгебре, использующей аппарат частных производных и составляющей основу созданной в ХIХ века, но всё ещё актуальной, методологии лагранжианов-гамильтонианов.
Ключевые слова: Кеплерова задача, алгебры с векторным делением, источники гравитационной энергии, движители без выброса реактивной массы.
Стр. 47-70.

Некоторые пояснения. Для начала разговора приведу выдержку из статьи (без ссылок на литературные источники):

«История этой задачи начинается в античные времена, с открытия и исследования древнегреческими учёными конических сечений. Так, первый исследователь конических сечений Менехм (IV в. до н. э.) даже продемонстрировал основателю философской Академии в Афинах Платону практическое применение своего открытия в виде механического устройства, решающего задачу построения ребра удвоенного куба. Однако, по свидетельству биографа выдающихся греков и римлян Плутарха, Платон решительно не одобрил «смешение высокой геометрии и низкой механики».
Наиболее полное исследование конических сечений было изложено в грандиозном, состоявшем из восьми книг, труде Аполлония Пергского "Коника", написанном между 210 и 200 годами до н. э. В нём теория конических сечений была описана настолько подробно и глубоко, что математикам мало что удавалось добавить нового, несмотря на бурный прогресс математической науки.
В новое время греческий математик Папп из Александрии (Pappos, III в. н. э.) дал определение конического сечения как геометрического места точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно (равно величине ε – эксцентриситету).  
Понятием эксцентриситета оперировал уже Аполлоний, а после него – древнегреческий астроном, механик, географ и математик II века до н. э. Гиппарх Никейский. Обнаруженное задолго до него (в V веке до н.э.) и уточнённое им неравенство длительностей сезонов (времён года) Гиппарху удалось объяснить с помощью выдвинутой им гипотезы “простого эксцентриситета” и получить формулу для равномерного движения Солнца вокруг Земли по окружности (эксцентру), смещённой относительно центра Земли:
tg x = ε sinM/(1+ε cosM),  
где М – угловое положение Солнца при его равномерном движении по небосводу,
x – отклонение углового положения Солнца на небосводе при смещении центра его круговой орбиты относительно центра Земли,
 ε –  эксцентриситет, равный 1/24,17<< 1.
Формула Гиппарха с высокой точностью описывает движение Солнца по небосводу, совпадая по виду с формулой для (половины) фокального угла, под которым видны фокусы из точки, движущейся по эллиптической орбите:
tg γ = ε sinφ/(1+ε cosφ).
Различие между формулами таково… В первой формуле угол М изменяется во времени с постоянной скоростью, а во второй – угол φ («истинная аномалия» по терминологии, введённой в ХII веке и позднее принятой Кеплером) изменяется при движении небесного тела по эллиптической орбите с переменной угловой скоростью:
dφ/dt=(V/p)(1+ε cosφ)²,
где р – фокальный параметр,
    V – линейная скорость объекта на исходной круговой орбите (при нулевом эксцентриситете) и в моменты равенства модуля радиус-вектора фокальному параметру,
t – время.
Значение линейной скорости V на исходной круговой орбите (при  равенстве радиуса окружности фокальному параметру) связано с константами гравитационного поля, входящими в формулу закона всемирного тяготения, соотношением силового баланса центробежного и центростремительного ускорений:
V²/р=Gm/p²,
где G – гравитационная постоянная,
      m – масса гравитирующего тела (в данном случае Солнца по отношению к планетам).
Формула «простого эксцентриситета» Гиппарха, как покажем ниже, оказывается полезной при решении обратной Кеплеровой задачи (при вычислении «истинной аномалии» как функции времени)…
После введения Паппом в теорию конических сечений понятия директрисы оставался лишь шаг до открытия полярного уравнения конического сечения. Однако этот шаг был сделан только в ХVIII веке французским астрономом Жозефом Лаландом (фр. Joseph Lalande, 1732-1807).
На с.364 первого тома трёхтомного трактата Лаланда «Астрономия», выдержавшего в Париже три издания (1764, 1781 и 1792 гг.) и переведённого на многие европейские языки, дан вывод полярного уравнения конического сечения. Этот вывод настолько прост и лаконичен, что умещается в три строки приведённого ниже пояснения к рис.1
[Пояснение к рис.1: при φ=90° радиус-вектор r конического сечения равен фокальному параметру р. Таким образом, расстояние FI от фокуса до директрисы равно p/ε. Для произвольного угла φ имеем:  p/ε=rcosφ+r/ε,  откуда   r=р/(1+εcosφ)].
Надо сказать, что первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы немецкий математик, астроном, механик, оптик Ио́ганн Кеплер (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) не знал и не использовал в своей работе полярное уравнение конического сечения, которое значительно облегчило бы его титанический вычислительный труд.
Современные же исследователи вращательных движений, хотя и знают это уравнение, теперь уже «традиционно» (не осознавая, что невольно исполняют запрет Наполеона Бонапарта на любые упоминания имени и трудов учёного, учившего его астрономии, но посмевшего критиковать) не придают ему большого значения, полагаясь больше на имеющиеся возможности вычислительной техники, чем на поиск и применение новых, более совершенных аналитических методов и средств.
В итоге, целый ряд явлений природы с лежащими в их основе вращениями, включая представляющие угрозу для человечества и наносящие ему ощутимый вред, всё ещё остаются малоизученными, тогда как незнание законов и закономерностей, которым подчиняются эти явления, в свою очередь, не позволяет ставить и решать принципиально новые научно-технические задачи, а также целенаправленно активизировать и стимулировать изобретательскую деятельность в тех областях, освоение которых может принести максимально возможную практическую отдачу и выгоду» (конец цитаты).

В подтверждение справедливости высказанного выше упрёка математикам процитируем первоисточник:
Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. – М.: ВИНИТИ, серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т.3, 1985 (сс. 64-67):
 «…В эллиптическом случае задачи Кеплера мы должны решить трансцендентное уравнение Кеплера
u – e sin u = ξ .
Ясно, что при (0≤е<1) оно имеет аналитическое решение u(е, ξ), причём разность u(е, ξ)–ξ периодична по средней аномалии ξ с периодом 2π. Для того, чтобы представить функцию u(е, ξ) в удобном для вычислений виде, можно избрать два пути:
(1) разложить функцию u–ξ при фиксированных значениях е в ряд Фурье по ξ с зависящими от е коэффициентами,
(2) можно попытаться представить u(е, ξ) в виде ряда по степеням эксцентриситета е с коэффициентами, зависящими от ξ » (конец цитаты).
Далее авторы цитируемой публикации показывают, что в первом случае коэффициенты ряда представляются функциями Бесселя m-го порядка, 1≤m≤∞, а при втором подходе коэффициенты ряда, представляющие собой тригонометрические полиномы средней аномалии ξ, могут быть получены с использованием известной формулы локального обращения голоморфных функций Лагранжа.
Мы же предлагаем пойти другим путём.

Прямая задача Кеплера (вычисление функциональной зависимости текущего времени движения от фазы или угла поворота радиус-вектора от исходного направления на перицентр орбиты) состоит в следующем:
- вычисляется значение эксцентрической аномалии Е с использованием зависимости
tg E/2=√[(1–ε)/(1+ε)]tg φ/2;
- вычисляется значение средней аномалии М по формуле Кеплера
М=Е–ε sinЕ.
Обратная задача (вычисление функциональной зависимости фазы или угла поворота радиус-вектора от текущего времени движения) превращает формулу Кеплера в трансцендентное уравнение, которое математики, вслед за Кеплером, предлагают решать так, как цитировалось выше.
Но есть более простой путь. Рассматривая угловую скорость
dφ/dt=(V/p)(1+ε cosφ)²= (V/p)(1+2ε cosφ+ε²cos²φ),
замечаем, что каждое из трёх её слагаемых аддитивно (но с разной скоростью) вносит свою долю в суммарный угол поворота радиус-вектора. Первое слагаемое, т.е. единица, умноженная на (V/p), означает равномерное вращение, поэтому интегрируется элементарно. Интегрирование же двух других упрощает "гипотеза простого эксцентриситета" Гиппарха.
Кеплер превращал эллипс в окружность делением всех ординат эллипса на «коэффициент сжатия», равный √(1–ε²). Гиппарх же только смещает окружность, не меняя её формы.
Действительно, годограф эллипса имеет форму окружности, смещённой относительно начала координат или текущей точки на орбите. Если «перевернуть» формулу Лаланда, приняв за координату обратную величину расстояния точки на орбите от центра притяжения (фокуса), то эллиптическая орбита также становится окружностью-эксцентром.
Так, взяв из замечательной книги:
Шпигельман М. Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещённых полярно-декартовых координатах. –  М.: 2006,
формулы преобразования полярных углов эллипса из правого фокуса в левый и наоборот,
получаем выражение средней аномалии М через промежуточный угол «двойного смещения» α, а также обратной зависимости
tg М=(1–ε²)sinα/(1+ε²)cosα+2ε;
tg α=(1–ε²)sinM/(1+ε²)cosM–2ε.
Дифференцируя первое выражение по времени и имея в виду, что
dM/dt=(V/p)[√(1–ε²)]³, получаем
(V/p)√(1–ε²)=[dα/dt]/(1+2εcosα+ε²),
откуда
dα/dt=(V/p)[√(1–ε²)](1+2εcosα+ε²).
Далее, имея в виду, что
ε²=ε²cos²α+ε²sin²α,
делаем вывод, что для преобразования угла α в истинную аномалию φ достаточно уменьшить угол α на величину табличного интеграла
(V/p)[√(1–ε²)]∫sin²α dt=(V/p)[√(1–ε²)]∫sin²α (dt/dα) dα=∫sin²α dα/(1+2εcosα+ε²).
Таким образом, необходимость решать трансцендентное уравнение Кеплера отпадает, и наличие аналитического решения задачи Кеплера становится очевидным.
« Последнее редактирование: 18 Ноября 2017, 21:26:50 от Анатолий Михайлович Петров » Записан

Петров А.М.
Фёдор Фёдорович Менде
Глобальный модератор
Ветеран
*****

Репутация: +245/-137
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 7287


Глобальный модератор


WWW
« Ответ #1 : 17 Ноября 2017, 22:08:55 »

Уважаемый Анатолий Михайлович!

Поздравляю с публикацией Вашей статьи. Для нашего форума это очередная статья (причём не первая), публикация которой стала возможно только потому, что существует такой форум, и что Вы является постоянны его участником. Но в Вашем сообщении я не увидел слов  упоминания об этом факте, не говоря уже о благодарности.
« Последнее редактирование: 17 Ноября 2017, 22:13:30 от Фёдор Фёдорович Менде » Записан

Анатолий Михайлович Петров
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +67/-47
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 1079

Петров А.М.


« Ответ #2 : 18 Ноября 2017, 14:04:39 »

Уважаемый Фёдор Фёдорович!
Если Вы полагаете, что не все участники нашего Форума об этом знают, или даже знают, но ещё недостаточно хорошо, то я, конечно, повторю (но, по большому счёту, Вы правы: об этом надо напоминать постоянно!).
История публикации моей статьи такова. Сначала я обратился с нею к главному редактору одного солидного академического журнала. Но никакого ответа не получил (руководитель уехал в зарубежную командировку, а без него никто вопрос решать не стал). Рассказал об этом Ф.Ф.Менде, который и порекомендовал А.А.Рухадзе заслушать моё сообщение на его семинаре. Так я оказался в числе участников знаменитого в нашей стране и за рубежом "семинара Рухадзе".
За год посещения семинара убедился в его заслуженной славе: выступают на нём и молодые научные таланты (в основном, аспиранты по темам своих диссертатаций), и гости из-за рубежа (часто наши соотечественники, работающие в передовых научных лабораториях), и пока не признанные "официальной" наукой в нашей стране разработчики новых научных идей. Так что мне очень повезло оказаться в такой благоприятной научной среде.
Сейчас по рекомендации А.А.Рухадзе продолжаю работать над новой статьёй (о её содержании пока умолчу).
Вот такая, вкратце, история, в начале которой - инициатива и поддержка Ф.Ф.Менде.
« Последнее редактирование: 18 Ноября 2017, 14:30:13 от Анатолий Михайлович Петров » Записан

Петров А.М.
Страниц: [1]   Вверх
  Печать  
 
Перейти в:  

Powered by MySQL Powered by PHP Powered by SMF 1.1.11 | SMF © 2006-2009, Simple Machines LLC Valid XHTML 1.0! Valid CSS!