Форум движения за возрождение отечественной науки
20 Августа 2019, 12:07:37 *
Добро пожаловать, Гость. Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь.

Войти
Новости: Форум движения за возрождение отечественной науки
 
   Начало   Помощь Поиск Войти Регистрация  
Страниц: [1]   Вниз
  Печать  
Автор Тема: Теорема, которую Кантор никогда не доказывал  (Прочитано 6130 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.
Константин Васильевич Давидюк
Модератор
Постоялец
*****

Репутация: +10/-0
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 105


« : 05 Января 2013, 20:33:26 »

Кантор в своей "знаменитой теореме" о несчетности действительных чисел R доказал свойство несчетности. Про континуальную мощность в теореме Кантора нет ни слова.


№ 1. Определение счетности.

Множество А называется счетным, если существует функция g, отображающая взаимно однозначно множество А на множество натуральных чисел N.


№ 2. Определение мощности (количества).

а). Когда речь идет о небольшом конечном множестве, то все просто: пересчитываем элементы этого множества. Число, выражающее количество элементов этого множества, будет называться мощностью (количеством). В данном случае это будет конечная мощность.

б). Когда рассматривается множество большого количества элементов, пересчитать его элементы трудно. Вот тут наши предки и придумали сравнивать множества методом образования пар, где пара образована из двух элементов сравниваемых множеств (одно из множеств зафиксировано и взято за эталон сравнения). Т. е. речь идет о существовании  технологии, образующей пары до тех пор, пока не закончится одно из двух множеств. То, которое закончилось раньше, будет объявлено как меньшей мощности. Возможен вариант, когда элементы закончились одновременно - множества одинаковы по количеству (мощности).

с). Если речь идет о бесконечных множествах, то поступают по аналогии с большими конечными множествами, пытаются подобрать взаимно однозначную функцию для образования пар. Если удалось подобрать такую функцию, что каждому элементу одного из множеств соответствует элемент другого множества и - наоборот, причем нет ни одного элемента, который не вошел  в одну из пар, то множества объявляются одинаковыми по количеству (мощности).
   Этот вариант "с" аналогичен определению из пункта № 1.

А если множество достаточно сложное, как угадать нужную функцию? Математика - это  не технология угадывания, а точная наука, которая движется от причины к следствию и - наоборот. Поэтому, если не удается подобрать нужную функцию (функцию с нужными свойствами), то для установления мощности изучают метод построения исследуемого множества.

Пример.
Множество натуральных чисел N счетно. Это значит, что любое множество, полученное рекурсивным способом (с базой рекурсии в виде конечного множества, в частности, состоящего из одного элемента), будет счетным по построению: элементы нумеруются в процессе их получения рекурсивным методом

Как видим, установление мощности множества может происходить несколькими методами: с помощью функции или по построению. Таким образом, "счетность" это один из способов установления мощности, а именно функциональный.

   А если доказано, что невозможно подобрать нужную функцию g? (Например, Кантор доказал, что какую бы мы функцию не брали, всегда можно построить такое действительное число, которое не войдет в пару  (не будет занумеровано)). Что делать в этом случае?
   Естественно, надо обратиться к другому способу, а именно, исследовать метод построения.

3. Снова возвращаемся к определениям.

Определение.
    Множество С называется континуальным (имеющим мощность континуума), если оно несчетно, т. е. если не удается построить взаимно однозначную функцию, отображающую это множество на множество натуральных чисел N.
       Будем обозначать это так N < C


Итак, Кантор доказал несчетность действительных чисел R. А кто установил мощность этого множества? Ни в одной книге нет теоремы, устанавливающей количество (мощности) множества R. Еще раз подчеркну, что Кантор доказал отсутствие функции, а не свойство мощности.

4. А теперь главный вопрос:
 
На каком основании введено неравенство: N < R ?


Все скажут: "Да это же очевидно - по определению!"

Мощность - это свойство, которое надо УСТАНАВЛИВАТЬ, а не ОПРЕДЕЛЯТЬ.

В моей работе УСТАНОВЛЕНО, что по построению мощность (количество) действительных чисел не превосходит количества натуральных чисел.

Таким образом, моя работа дополняет теорему Кантора: Кантор доказал несчетность, а я исследовал мощность.
Записан

Единственный в мировой практике учебник по основаниям теории множеств:
"Основания конструктивной теории множеств":
http://corum.mephist.ru/index.php?showtopic=28664
или
http://fmnauka.narod.ru/DA.pdf

Отзыв математического института НАН Беларуси:
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #1 : 06 Января 2013, 02:29:30 »

Мощность - это свойство, которое надо УСТАНАВЛИВАТЬ, а не ОПРЕДЕЛЯТЬ.
Я считаю, что количество элементов множества надо задавать заранее - вместе с определением самого множества.
Вот аргументы:
Предположим у нас есть свойство, которое мы используем для того, чтоб отличить - входит какой-то элемент в множество или нет.
Затем мы должны расставить у каждого кандитата метки: входит/не входит.
Алгоритмически это выглядит так:
"FOR i=1 то ..." - вместо многоточия надо подставить количество элементов и сделать это до того, как мы вводим определяющий признак.
Не зная количества элементов мы не можем написать "алгоритма создания/определения множества" - т.е. не можем определить это множество.
Количество элементов надо вводить аксиоматическим поррядком вместе с определением самого множества.
Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Константин Васильевич Давидюк
Модератор
Постоялец
*****

Репутация: +10/-0
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 105


« Ответ #2 : 08 Января 2013, 16:45:12 »

Предположим у нас есть свойство, которое мы используем для того, чтоб отличить - входит какой-то элемент в множество или нет.
Затем мы должны расставить у каждого кандитата метки: входит/не входит.
Алгоритмически это выглядит так:
"FOR i=1 то ..." - вместо многоточия надо подставить количество элементов и сделать это до того, как мы вводим определяющий признак.
Не зная количества элементов мы не можем написать "алгоритма создания/определения множества" - т.е. не можем определить это множество.
Количество элементов надо вводить аксиоматическим поррядком вместе с определением самого множества.

Разве указанное свойство не есть признак, по которому определяется множество?
Записан

Единственный в мировой практике учебник по основаниям теории множеств:
"Основания конструктивной теории множеств":
http://corum.mephist.ru/index.php?showtopic=28664
или
http://fmnauka.narod.ru/DA.pdf

Отзыв математического института НАН Беларуси:
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #3 : 08 Января 2013, 17:28:27 »

Разве указанное свойство не есть признак, по которому определяется множество?
Одного свойства недостаточно.
Для определения множества нужно задать две вещи - свойство и ... количество элементов.
Или количество элементов для верхнего множества.
Например когда мы говорим: "Четные числа - это все такие числа из множества натуральных ..." - то имеем ввиду, что за основу берется количество элементов из множества натуральных и потом отбрасываются все не удовлетворяющие свойству.
Так тоже можно ... но самое первое число - надо обязательно ввести аксиоматически.

В логике ,например, когда применяется квантор всеобщности , то подразумевается, что количество элементов ,на которые этот квантор действует, он известен заранее.
А как применить этот квантор, если заранее не известно на какое число элементов его надо применять?

Когда множество натуральных чисел задаётся рекурсией, то мне кажется это ошибка - не указывать точку останова.
Из-за этого все проблемы - множество натуральных чисел недоопределено - что порождает возможности разночтения.

А вот если бы заранее ввели некое "число N" и сказали, что "оно есть количество элементов множества натуральных чисел" и что "этого числа нельзя достичь прибавлением единицы к другому числу - каждый раз будет получаться число меньшее N".
Все алгоритмы для работы с натуральными числами сразу бы обрели конкретику: "FOR i=1 to N"
А потом, при определении других множеств (действительных или рациональных) мы бы использовали это N для определения количества элементов этих множеств.
Тогда проблемы сравнения не стояло бы - все было бы договорено заранее.
А так мы эти множества определяем некорректно - отсюда и все споры.
Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Константин Васильевич Давидюк
Модератор
Постоялец
*****

Репутация: +10/-0
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 105


« Ответ #4 : 11 Января 2013, 17:22:51 »

Согласен.
Записан

Единственный в мировой практике учебник по основаниям теории множеств:
"Основания конструктивной теории множеств":
http://corum.mephist.ru/index.php?showtopic=28664
или
http://fmnauka.narod.ru/DA.pdf

Отзыв математического института НАН Беларуси:
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,
Страниц: [1]   Вверх
  Печать  
 
Перейти в:  

Powered by MySQL Powered by PHP Powered by SMF 1.1.11 | SMF © 2006-2009, Simple Machines LLC Valid XHTML 1.0! Valid CSS!