Форум движения за возрождение отечественной науки
21 Августа 2019, 02:40:51 *
Добро пожаловать, Гость. Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь.

Войти
Новости: Форум движения за возрождение отечественной науки
 
   Начало   Помощь Поиск Войти Регистрация  
Страниц: [1]   Вниз
  Печать  
Автор Тема: Критерий истинности в математике  (Прочитано 8848 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« : 07 Ноября 2011, 13:02:41 »

В 1931 голу Гёдель опубликовал теорему "о неполноте" и математика выбрала один из возможных вариантов развития.

Как следует из теоремы, силами самой математики невозможно доказать её непротиворечивость.
И вообще, любая теория не может доказать собственную корректность.
Тут все забегали и начали хвататься за голову - а вдруг, вся математика ,на самом деле, некорректна, а мы этого даже доказать не можем!

Но вот вопрос: а разве впервые математики сталкиваются с недоказуемостью?
Вспомним, когда впервые придумали аксиомы - принципиально недоказуемые утверждения, принимаемые на веру.
В глубокой древности!
И то, что в математике использовались недоказанные утверждения не ставило под вопрос истинность всей математики.

Т.е. существует возможность решить вопрос все тем же самым старым способом - введением очередной аксиомы (или аксиом).
Это и есть та самая развилка математики - вместо того, чтоб ввести новые аксиомы, приняли недоказуемость математики за факт и начали строить синтаксические/иерархические теории языков разных уровней (чтоб значит язык нижнего уровня мог быть доказан при помощи языка верхнего).

Но я хочу вернуться к развилке и попытаться пойти "традиционным путем" - ввести аксиому.

Вернее принцип.

Наиболее глобальные всеохватные утверждения называют уже не аксиомами - а принципами, поэтому ,для возвращения математике доказуемости и корректности, надо ввести такие принципы (без доказательств) следуя которым любая теория или математика будет автоматически считаться корректной.

Оказывается такие принципы существуют и вот главный:

1) Принцип причинности - "ни одно следствие не может быть собственной причиной".
Довольно очевидный интуитивный принцип.

Если присмотреться к существующим математическим парадоксам, то можно заметить, что практически все они построены на нарушении принципа причинности.
Как пример: "Парадокс Лжеца" - "Я лгу, в том числе говоря это" - здесь происходит нарушение причинности, поскольку утверждение ссылается на само себя, причина - является собственным следствием.

Вернемся к теореме Гёделя - как она измениться после введения принципа причинности?
А она станет некорректной - поскольку в своем доказательстве нарушает принцип причинности - сама постановка вопроса "может ли теория доказать собственную корректность" - это уже нарушение причинности (как в "парадоксе лжеца"), ну и если пройтись по ,довольно сложному и громоздкому, тексту теоремы мы непременно наткнемся на самоссылки.
Тут, конечно надо еще разделять истинное нарушение причинности от кажущегося.
Например, рекурсивные функции - они не нарушают принципа причинности, поскольку ссылка происходит не на саму себя, а на собственную копию, в которую передаются уже другие входные параметры.
Впрочем это я уже забежал вперед.
Надо еще построить правильную теорию алгоритмов, в которой четко сформулировать - что можно, а что нельзя делать, чтоб не был нарушен этот принцип и как можно избежать нарушения принципа причинности, когда необходимо применить рекурсию.
« Последнее редактирование: 07 Ноября 2011, 13:06:24 от Андрей Александрович Козлов » Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Константин Васильевич Давидюк
Модератор
Постоялец
*****

Репутация: +10/-0
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 105


« Ответ #1 : 07 Ноября 2011, 13:34:44 »

Необходимо добавить, что доказательство "теоремы" Гёделя использует диагональную конструкцию Кантора (Кантор применял конструкцию к записям чисел, а Гёдель к формальным записям).
Доказательство теоремы Гёделя может быть приведено по объему не более доказательства "теоремы" Кантора, но тогда становится очевидным нарушения законов логики. Поэтому доказательство Гёделя усложнили многократно с целью завуалировать, скрыть, отвлечь внимание основных ложных заключений во время доказательства.

Каждая теория представляет собой множество истинных предложений, описывающих Реальную систему объектов.
Уже с этой позиции такая теория не может быть противоречивой.
Затем в теории выделяются тем или иным способом исходные предложения (называемые аксиомами) и правила вывода (построения других предложений этой теории), причем правила вывода называют операциями (логическими операциями следованиями), где эти операции точно оговариваются. Каждая теория обладает своим набором операций и, хотя они и называются в разных теориях одинаковыми словами, они зачастую несовместимы (дают разные результаты при одинаковых исходных данных).
При таком развитии теории Аксиоматическим методом парадоксы и противоречивость невозможны в принципе, они исключены самим методом построения теории.

Если же - как это принято в государственной лживой науке - от "фонаря" объявляются аксиомы (как недоказуемые исходные предложения), которые взяты бог весть откуда, а затем от такого же фонаря берутся операции, которые по ходу теории постоянно меняют свои свойства, то Разумеется и теория будет непротиворечивой и несостоятельной.
Такие теории являются хлебом Свиней от науки и служат для беззаботного паразитирования чиновников за счет налогоплательщиков.

Принцип причинности - это прокрустово ложе для любой теории и его надо вводить на уровне определения объектов, понятий и операций. Иначе математическая модель не будет в состоянии описать физический процесс, который подчиняется строгим законам причинности, установленными во Вселенной.
Записан

Единственный в мировой практике учебник по основаниям теории множеств:
"Основания конструктивной теории множеств":
http://corum.mephist.ru/index.php?showtopic=28664
или
http://fmnauka.narod.ru/DA.pdf

Отзыв математического института НАН Беларуси:
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #2 : 07 Ноября 2011, 14:27:10 »

Диагональ Кантора - особый разговор.
Там неявно применен метод "алгоритмического доказательства" - когда строится алгоритм и доказывается, что он никогда не завершится.
Но такое доказательство не может быть абсолютно убедительным.
Для алгоритмов нужен особый подход ибо если мы создадим два алгоритма и один всегда будет опережать другой , то мы как бы "докажем" нечто, что там воплощают эти алгоритмы, а между тем - это будет ошибка.
Как пример "парадокс Литлвуда" - есть бесконечный набор шаров и безразмерный ящик и два типа - ангел и демон - кладут и вынимают из ящика шары со все ускоряющейся скоростью.
За час до полудня ангел кладет 10 шаров, а демон вынимает один, за пол часа до полудня ангел снова кладет 10 шаров, а демон вынимает один ...
И т.д. время делится пополам и шары кладутся и вынимаются со всевозрастающей скоростью но вынимаются всегда в 10 раз меньше чем кладется...
Вопрос: сколько шаров будет в ящике в полдень?
Теория множеств утверждает, что ноль - ибо какой бы шар не был положен туда ранее, но рано или поздно демон его оттуда заберет.

Я не буду тут приводить свою версию решения, скажу только, что здесь задействованы два алгоритма, а про алгоритмы еще многое неясно ...
Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #3 : 07 Ноября 2011, 15:10:16 »

Следующий принцип, который можно заявить кандидатом на "всеобщность" это:
принцип достаточности основания - "ни одно следствие не должно быть сделано без причины".

Особое значение этому принципу придавал Лейбниц, который считал его очевидно главным принципом математики.

Однако, можно заметить, что "принцип достаточности основания" входит в противоречие с самой идеей существования понятия "аксиома" - ведь это означает как раз "следствие без доказательств".
Кроме того, в сочетании с "принципом причинности" - он ведет к следствию, что любая цепочка причин должна уходить в бесконечное прошлое.

Думаю, выход из этой ситуации в ведении приоритетов: какой из принципов главный.

Главным, будет "принцип причинности", который имеет приоритет над "принципом достаточного основания" ,кроме того еще "нулевым принципом" можно считать возможность существования аксиом - как единственного исключения из второго принципа.


Если с причинностью все понятно - его нарушения сразу видны (парадоксы типа "лжеца"), то с "достаточностью основания" не все так просто.
Однако и на его основе есть, математические следствия.
Это т.н. "конструктивная логика" - в её основе лежит отказ от отрицания, как метода доказательства.

Действительно, если у нас есть следствие A -> B , то совсем не очевидно, что not A -> not B или A -> not B.
not B - это самостоятельное, независимое от B утверждение, требующее отдельно доказательства.

Но это только, если не определен т.н. "универсум" - единица - E

Если у нас , независимым способом, выведена единица E, то отрицание B , легко выводится из E и B
not B = E / B - дополнение B в множестве E.

Т.е. если единица определена, то отрицание становится корректной операцией.

За всем этим следит "принцип достаточности основания"
« Последнее редактирование: 07 Ноября 2011, 15:15:48 от Андрей Александрович Козлов » Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #4 : 08 Ноября 2011, 11:59:54 »

Итак, рассмотрим рекурсивные функции в свете новых принципов.
Мы хотим на вход функции F подать то что у неё на выходе:
F(F) - но такая запись неправильная, поскольку не указаны параметры.
Если у "внешней" функции F есть параметры, то они должны быть и у внутренней (должно быть достаточное основание для вычислений):
F(F(X)) - вот теперь ясно, что это совершенно разные функции - у первой в параметрах какое-то стартовое значение X, а у второй - уже то, что получилось после первой подстановки.

Сколько бы мы не подставляли вновь и вновь - неизбежно получим новую функцию, отличающуюся только номером вложения.


F(F(F(...(F(X))...) - n раз.

При использовании рекурсии появляется некий номер - n - а это и есть время, в данном случае дискретное, но если мы нашу функцию "обзовем" дифференциальной формой и устремим степень воздействия к нулю (например, умножив на дифференциал dt), одновременно устремив количество вложений к бесконечности (т.е. проинтегрируем), то получим непрерывное движение по некой траектории во времени.

Итак время - это неизбежно возникающая координата (дискретная или непрерывная) при применении рекурсивных функций , служащая для гарантии ненарушения принципа причинности - это как бы контролер этого принципа, залог корректности наших вычислений.

В практике программирования, время - это некий счетчик рекурсии, который необходим для корректной работы рекурсивных функций, чтоб они не смогли зациклиться.
Можно обойтись и без него, но тогда нет никакой гарантии, что наше условие выхода из рекурсии нормально отработает для всех случаев.
Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #5 : 09 Ноября 2011, 22:57:42 »

Теперь, давайте применим эти принципы на практике.
Например, возьмем доказательство существования т.н. невычислимых функций.
Оно ,в общем, стандартно и присутствует во всех учебниках по теории алгоритмов, например, С. Ю. Кулабухов "Дискретная математика" п.4.2:
Цитировать
4.2 Пример невычислимой функции. Так как нормально вычислимых функций счетное множество, то перенумеруем все эти функции. Таким образом, всякая нормальная функция имеет некоторый номер. Пусть w0,w1,w2,... - все нормально вычислимые функции. Определим числовую функцию f следующим образом:
f(x) = { wx(x)+1 - если wx(x) определено,
         { 1 - если wx(x) - не определено.
  Если предположить, что функция f(x) нормально вычислима, то получим, что f(x) = wk(x) для некоторого целого k. Так как f(x) всюду определена, то и wk(x) определена всюду на целых числах.
Тогда
f(k) = wk(k)
Но по определению функции f(x) имеем
f(k) = wk(k)+1
Из двух последних равенств получаем противоречивое равенство:
wk(k) = wk(k)+1
Таким образом, f(x) не является нормально вычислимой, и потому не является вычислимой по Тьюрингу и частично рекурсивной, т.е. для вычисления всех её значений не существует алгоритма.

Теперь проанализируем это доказательство.

Во первых.
То , что функция f(x) знает все номера всех на свете вычислимых алгоритмов, означает, что либо в её коде содержатся все эти номера, либо она содержит все коды всех алгоритмов (если код функции совпадает с её номером).
А это означает, что f(x) никак не может быть конечным (т.е. "по определению" алгоритма содержать конечное число символов) алгоритмом и входить в список перенумерованных функций и иметь в нем свой номер.
Тут ошибка определения - дело в том, что за алгоритмы считаются только конечные наборы символов, потому их все и можно перечислить при помощи целых чисел.
Рассмотренная же выше функция к таковым не относится, но поскольку бесконечных алгоритмов наука не знает, то любой алгоритм почему-то автоматически предполагается также конечным алгоритмом.
Но это пока не связано с рассматриваемыми принципами корректности (хотя косвенное нарушение принципа "достаточности основания" присутствует).
Во вторых.
Когда "создается" алгоритм функции f(x) еще не известен её номер в списке этих функций - ведь сначала надо составить список всех алгоритмов, потом перенумеровать их всех и только потом у нас появиться новый алгоритм, который ,естественно, не может входить в первоначальный список, поскольку до того как алгоритмы будут перенумерованы, не мог быть создан.
Налицо нарушение принципа причинности.
Т.е. здесь нам ,в качестве "контрпримера", предлагается функция с противоречивым условием - функция, которая должна знать свой собственный номер.
Следствие - является собственной причиной.

Так-что здесь приводится пример не невычислимой функции, а доказывается, что у некорректных функций не может быть алгоритма.
Некорректных - это тех в которых нарушается или должен быть нарушен принцип причинности.
« Последнее редактирование: 09 Ноября 2011, 23:00:54 от Андрей Александрович Козлов » Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Андрей Александрович Козлов
Модераторы
Ветеран
*

Репутация: +33/-13
Offline Offline

Пол: Мужской
Сообщений: 769


« Ответ #6 : 09 Ноября 2011, 23:17:36 »

Или еще один пример - "проблема останова".
Заключается в следующем: "Существует ли алгоритм, который анализируя любой другой алгоритм однозначно ответит - завершится тот алгоритм когда ни будь или нет?".
Доказательство того, что такого алгоритма не существует производится следующим образом: предполагаемый алгоритм подставляется сам в себя и возникающее противоречие якобы "доказывает", что такого алгоритма не существует.

Но мы то теперь знаем - что алгоритм не может анализировать сам себя, поскольку будет нарушен принцип причинности.
Доказательство некорректно.

Тут ,конечно, мне могут возразить, что мол алгоритм может анализировать собственную копию ...

И вот тут возникает интересный момент.

Почему-то, когда говорят об алгоритме, предполагают под анализом алгоритма только его исходный код, как бы упуская передаваемые параметры.
Т.е. пусть наш алгоритм Q должен проанализировать свой код:
Q(Q) - но коду должны передаваться какие-то параметры.
Поскольку анализируется алгоритм, анализирующий сам себя, то передаваемые параметры должны быть - снова код алгоритма:
Q(Q(Q()))
Однако у самого последнего вложенного Q снова отсутсвуют параметры.
Без параметров - это некорректное действие.
Налицо нарушение принципа "достаточности основания" - в современных доказательствах об отсутствии алгоритма определения остановки предполагается что на каком-то этапе анализируется алгоритм без параметров - т.е. делается вывод при недостаточном основании.
« Последнее редактирование: 09 Ноября 2011, 23:19:09 от Андрей Александрович Козлов » Записан

Если вы все знаете и все понимаете - значит вам не все говорят.
Страниц: [1]   Вверх
  Печать  
 
Перейти в:  

Powered by MySQL Powered by PHP Powered by SMF 1.1.11 | SMF © 2006-2009, Simple Machines LLC Valid XHTML 1.0! Valid CSS!