Теория вероятностей

[Андрей Александрович Козлов]

Все книги по теории вероятностей содержат в себе следующую малозаметную фразу:
"... для независимых событий ..." и далее идут уже многочисленные теоремы и прочие достижения научной мысли.

Однако ... для зависимых событий почти ничего не сделано.

Практические формулы сложения и умножения вероятностей - существуют только для независимых событий.
Есть ,конечно, формулы для зависимых событий:
P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)
Но вот только в последний член (P(A*B)) все и упирается.
Дальше поезд останавливается и никуда не идет.

Для независимых событий все просто.
Для них формулы сложения и умножения частично обладают алгоритмическим свойством подстановки (см. тему про "теорию алгоритмов"):

P(F(A)) = F(P(A))

Но только частично, т.е. выполняются для разных независимых событий переменных:
P(A*B) = P(A)*P(B)
P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)
или
P(A or B) = P(A) + P(B)
для взаимоисключающих событий

(Функция вероятности P(A) - это функция подстановки - вместо события A - его вероятности)

Но есть одно "но":

P(A*A) = P(A) <> P(A)*P(A)
(равно только если P(A) равно нулю или единице)

Т.е. для вероятностей не выполняется (на поле классической арифметики) алгоритмическое свойство подстановки.
В общем виде может быть что:
P(A*B) = 0
P(A*B) = min(P(A),P(B))
P(A * B) = P(A)*P(B)
или любое число между этими величинами

Последние свойства сложения приводят нас к ,недавно обретшей популярность, "нечеткой логике".
Однако, что она собой представляет?
Несложный анализ приводит на к выводу, что ... это просто ухудшенный суррогат теории вероятностей.
Наобум (чтоб ответ наиболее приближался к правдоподобному) выбирается формула:
P(A*B) = min(P(A),P(B)) , P(A or B) = max(P(A),P(B))
или
P(A*B) =  P(A)*P(B) , P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)
которая затем используется в алгоритмах.
Но ведь эти формулы в общем случае не верны - правильный ответ зависит от зависимости событий A и B
В нечеткой логике зависимость событий никак не учитывается.

В теории вероятностей все же есть путь для её алгоритмизации, это: "Теоретико-множественная интерпретация случайных событий".
Теоретико-множественная интерпретация - это ,по сути, использование булевой алгебры вместо обычной арифметики.

Чтобы правильно работать с вероятностными алгоритмами требуется:
1) Выделить в модели все независимые события и представать каждому в соответствии переменную.
2) Для этих независимых переменных в алгоритмах использовать булеву арифметику:
X+X=0; X*X=X
3) Подстановку вероятностей делать только после окончательной оптимизации алгоритма (т.е. приведения алгоритма к такому виду, в котором бы были исключены такие операции, где переменные могли встретиться сами с собой: X+X или X*X).
Т.е. алгоритм должен быть представлен в таком виде, где каждая независимая переменная участвует только один раз.

При несоблюдении всех этих условий, любые алгоритмы с участием вероятностей будут некорректны.

(В связи с этим у меня большие сомнения в корректности "квантовой механики")

[Андрей Александрович Козлов]

Что такое "Неравенства Белла"?

Кто угодно может вывести подобные неравенства , используя теоретико-множественную интерпретацию теории вероятности.

Для этого используется простое тождество:

1= A + ~A

где ~A - это отрицание A

Тогда, например  B = B * 1 = B*A + B*~A

Надо заметить , что подобные разложения по A и ~A - ортогональны , т.е. A и ~A - это несовместные события и их произведение равно нулю, а значит вероятность любой суммы равно сумме вероятностей:
P(B*A + B*~A) = P(B*A) + P(B*~A)

Комбинируя подобные тождества мы можеи получить любое количество "неравенств Белла".
Например ("Успехи физических наук том 142 вып.4 1984г. апрель - 'Неравенства Белла и экспериментальная проверка квантовых корреляций на макроскопических расстояниях' А.А.Гриб"):

N(A+B-) <= N(B-C+) + N(A+C-)

N - количество частиц - оно равно вероятности (P), умножить на общее число частиц

Проверить это неравенство нетрудно, используя тождество разложения:
N(A+B-) = N(A+B-C+) + N(A+B-C-)
N(B-C+) + N(A+C-) = N(A+B-C+) +N(A-B-C+) + N(A+B+C-) + N(A+B-C-)
Сравнивая две части и сокращая одинаковые члены получаем:
N(A+B-C+) + N(A+B-C-) <= N(A+B-C+) +N(A-B-C+) + N(A+B+C-) + N(A+B-C-)
0 <=N(A-B-C+) + N(A+B+C-)

Прошу заметить, что неравенство свелось к утверждению, что вероятность некоторого события больше< либо равно нуля.

Это все равно , что утверждение, что 2>1.
Т.е. неравенство Белла -это простое арифметическое тождество.
Оно не может нарушаться, ни при каких предположениях о физической картине мира, поскольку есть просто математика.
2>1  не может зависеть от того, каким образом происходит какое-то там физическое явление.

[Андрей Александрович Козлов]

Если "Неравенства Белла" - это арифметические тождества, то каким образом физики постоянно обнаруживают их нарушения?

Вариантов несколько.
1) Читаем дальше приведенную статью из "Успехи физических наук":

...вместо рассмотрения системы одинаковых частиц надо рассмотреть систему пар частиц. Каждая пара обладает свойством, что если у одной частицы A принимает значение +1, то у другой A = -1 (например, спин одной частицы Sz = 1/2, а другой Sr = -1/2, если они обе образуют состояние с нулевым спином). Тогда, обозначая число пар через n , перепишем неравенство (A) как
n(A+B+) <= n(B-C-) + n(A+C+)
 

Не знаю, как автор смог из неравенства
(А) N(A+B-) <= N(B-C+) + N(A+C-)
получить неравенство
(Б) n(A+B+) <= n(B-C-) + n(A+C+)
(Заменой типа B+ <-> B- оно никак не получается)
Но мы можем его проверить, как в и случае с (А) разложив его по всем переменным:
n(A+B+) = n(A+B+C+) + n(A+B+C-)
n(B-C-) + n(A+C+) = n(A+B-C-)+ n(A-B-C-) + n(A+B+C+)  + n(A+B-C+)
и далее
n(A+B+C+) + n(A+B+C-) <=n(A+B-C-)+ n(A-B-C-) + n(A+B+C+)  + n(A+B-C+)
n(A+B+C-) <=n(A+B-C-)+ n(A-B-C-) + n(A+B-C+)

Как видно, неравенство не выполняется - оно ложное.
При n(A+B+C-) >0
а n(A+B-C-) = n(A-B-C-) = n(A+B-C+) = 0
оно будет нарушено.
Итак , правильное неравенство не использовалось, а вместо него использовалось неверное.
Не знаю, может это какая-то опечатка в статье ... но первая версия будет это:
Простые ошибки в вычислениях.
2) Вторую версию - почему физики смогли углядеть нарушение математического тождества - дает нам т.н. "Парадокс Бертрана"
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%28%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%29
"рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Наудачу выбирается хорда окружности. Какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника?"
Оказывается, Что если по разному - с виду абсолютно корректно- считать эту вероятность, У нас каждый раз будет получаться разный результат.
Т.е. не зная как на самом деле происходит генерация непрерывной случайной величины - все попытки оценить её вероятность будут неверны.
А в квантовой механике именно что происходит попытка оценить вероятность без знания конкретного физического механизма.
(К тому-же там оцениваются практически те же самые вероятности "углов поляризации" что и в парадоксе Бертрана)
Итак вторая версия - неправильное применение теории вероятности к непрерывным случайным величинам.
3) Ну и третий вариант заключается в математике.
Как я писал в первом посте, вероятность не подчиняется правилам умножения обычных чисел.
Для вероятности ,например, X^2 = X.
Т.е. если мы найдем например, значение для энергии E при помощи вероятностной функции, то эту энергию нельзя просто возводить в квадрат и вообще применять для неё обычные арифметически операции.
Умножать и складывать эту энергию можно только с такими величинами, для вывода которых не использовалась та вероятность, что применялась для вывода E.
Итак третий вариант: ошибочный математический аппарат квантовой механики.

PS
Если кому не нравиться применение слова "тождество" в отношении неравенств, то его можно заменить на "тавтология".